Binomialcoëfficĭent

Binomialcoëfficĭent (Math.), in der entwickelten Binomialformel

die Factoren n₁, n₂ u. s. s. der Producte aus den Potenzen der beiden Theile des Binomiums. Sie sind nur vom Exponenten n, nicht aber von den Gliedern des Binomiums a u. abhängig. Der erste B. ist nach der gewöhnlichen Bezeichnung der Coëfficient des 2. Gliedes jener Entwickelung n₁, der zweite B. ist der Coëfficient des 3. Gliedes n₂ u. s. s. Der Werth des ersten B. ⁿ/₁, der des zweiten n.(n – 1)/(1.2) des dritten n.(n – 1.n – 2)/(1.2.3) u.s.f., der des nten ist 1. Die abkürzenden Bezeichnungen dafür sind von Verschiedenen verschieden gewählt worden. Hindenburg bezeichnet sie der Reihe nach mit den großen Buchstaben des deutschen Alphabets u. schreibt den Exponeten des Binomiums, zu dem sie gehören, oben zur Linken jedes Buchstaben, so daß

Um in der Reihe der B-en anzugeben, der wie vielste zur Rechten od. Linken von irgend einem Coëfficienten ein anderer sei, setzt man über den, von welchem man ausgeht, die den Abstand angebende Ziffer beziehungsweise mit positiven od. negativen Vorzeichen. Diese heißt in Verbindung mit dem letzteren der Distanzexponent. Z. B. ist in der nten Potenz eines Binoms der 3. Coefficient zur Rechten des nten, u. + 3 ist der Distanzexponent. Thibaut bezeichnet jeden B. mit oben zur Linken desselben steht der Potenzexponent, u. die überschriebene Zahl gibt an, der wie vielste Coëfficient vom ersten an gezählt, einer sei, z.B.

Euler schreibt sie in Bruchform, so daß der Potenzexponent Nenner, der Distanzexponent Zähler wird, u. schließt das Ganze in eine Hakenparenthese: [²/_n] Andere schreiben auch kürzer: (²/_n), Besselt bezeichnet in neuerer Zeit bezeichnet man z.B. den 2. B. in der _nten Potenz eines Binomiums durch [n]₂ od. auch nur durch n₂ so bei Drobisch, Schlömilch u. A. An den B-en sind eine Reibe sehr merkwürdiger u. wichtiger Eigenschaften von den größten neueren Analysten entdeckt worden. So sind z.B. die beiden B-en einander gleich, welche vom ersten u. letzten Gliede gleich weit entfernt sind, also z.B. n₁ = n_n-1n₂ = n_n-2 etc., der letzte B. selbst ist immer gleich 1. Rechnet man nun das erste Glied mit, welches den Coefficienten 1 hat, der dann durch n₀ bezeichnet zu werden pflegt, so hat man bei einem ungeraden[801] n eine gerade Anzahl Glieder, von der die zweite Hälfte dieselben Coefficienten in umgekehrter Ordnung hat, als die erste; bei einem geraden n dagegen ist die Anzahl der Glieder ungerade, daher gibt es einen mittelsten B. welchem keiner gleich ist. Bes. wichtig ist noch die Eigenschaft, daß die Summe zweier auf einander folgender B-en gleich demjenigen B. aus der Entwickelung der um 1 höheren Potenz ist, welcher mit dem letzteren von beiden die gleiche Stellenzahl hat; in Zeichen: n_k + n_{k + 1} = (n + 1)_{k + 1}.