Näherungsbruch

Näherungsbruch, jeder Bruch, welcher dem wahren Werthe einer Zahl näher kommt, als jeder andere durch nicht größere ganze Zahlen ausgedrückte Bruch. Hat man einer Zahl die Gestalt eines Kettenbruchs gegeben, so erhält man solche Näherungsbrüche, indem man die 1, 2, 3, 4 etc. die ersten Glieder od. Theilbrüche desselben in gemeine Brüche verwandelt, welche letztere, vorausgesetzt, daß die Glieder sämmtlich positiv sind, der Reihe nach die Eigenschaft haben, daß jeder 1., 3., 5. kleiner, jeder 2., 4., 6. aber größer ist als der Urbruch, doch so, daß jeder folgende dem Urbruche näher kommt, als der vorhergehende. Man bedient sich in der Ausübung der Näherungsbrüche theils um gewisse Verhältnisse durch eine solche annähernde Vereinfachung anschaulicher zu machen, theils um beschwerliche Rechnungen mit vielzisserigen Zahlen zu vermeiden, u. wendet sie deshalb eben so auf Rational als auf Irrationalverhältnisse an. Bekanntlich ist das Verhältniß des Durchmessers zum Umfange eines Kreises wie 1: 3,141592653.... Wird der umgekehrte Werth dieses Verhältnißexponenten in einen Kettenbruch verwandelt, so erhält man folgende Näherungsverhältnisse für denselben, 1: 3; 7: 22; 106: 333; 113: 355; 33102: 103993 etc. Wenn der Werth einer Größe durch eine convergirende Reihe ausgedrückt ist, so bilden die 1, 2, 3, 4... ersten Glieder derselben einzelne Näherungswerthe für jene.