Cotesischer Lehrsatz

Cotesischer Lehrsatz

Cotesischer Lehrsatz, Lehrsatz nach dem Mathematiker Roger Cotes benannt, zeigt, wie eine Function von der Form an Cotesischer Lehrsatz xn vermittelst folgender Eigenschaft des Kreises in zwei- od. dreigliedrige Factoren zerlegt werden könne. Theilt man die Peripherie eines aus C mit einem Halbmesser = a beschriebenen Kreises in den Punkten M, M1, M2, M3. in 2n gleiche Theile u. wählt auf dem durch den Anfangspunkt M gehenden Durchmesser einen Punkt O, dessen Abstand vom Mittelpunkt c = x sei, so ist, wenn man aus O nach allen Theilungspunkten Gerade zieht, das Product aus allen, nach einem geradzahligen M gezogenen Linien, d. i. OM × OM2 × OM4 ... × OM2n2 = an – xn, wenn O innerhalb des Kreises u. = xn – an, wenn O außerhalb desselben in der Verlängerung des durch M gehenden Durchmessers liegt; endlich das Product aus allen von O nach einem ungeradzahligen M gezogenen Linien, d. i. OM1 × OM3 × OM5 ... OM2n1 = an + xn. Nun ist ein beliebiger nach Mk gezogener Strahl OMk = √ x2 – 2ax cos k/n π + a2), u. da ihm bei der geraden Anzahl der Theilpunkte ein gleicher Strahl OM2n k im anderen Halbkreis entspricht, so ist OMk OM2nk = x2 – 2ax cosk/nπ + a2. Hieraus geht aber hervor, daß an + xn, sowie auch an – xn gleich einem Producte mehrerer Factoren ist, die im Allgemeinen die Form xn – 2ax cos k/nπ + a2 haben, unter denen aber der erste, wenn n eine ungerade Zahl ist, x – a heißt. Von diesem in Cotes Harmonia mensurarum (Canterb. 1722) ohne Beweis zuerst mitgetheilten Satze geben Beweise Bernoulli, Klügel u. Lacroix. Moivre, von dem es ebenfalls einen Beweis dieses Satzes gibt, dehnte letzteren auf alle Functionen von der Form a2n – 2an xn cos φ + x2n aus, u. von ihm nennt man ihn den Moiverschen Lehrsatz. Beide dienen zur Bestimmung der Wurzeln einer Gleichung.


Pierer's Lexicon. 1857–1865.

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  • Moivre — (spr. Moawer), Abraham, geb. 1667 zu Vitri in der Champagne, studirte Philosophie u. Mathematik. Als Protestant ging er 1685, nach Aufhebung des Edictes von Nantes, nach England u. st. 1754 in London. Hauptsächlich beschäftigte er sich mit der… …   Pierer's Universal-Lexikon

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