- Polyedralzahl
Polyedralzahl (v. gr.). Werden mehre reguläre Polyeder von gleicher Seiten- u. Eckenzahl so in einander gelegt, daß alle eine Ecke mit einander gemeinschaftlich haben; werden ferner auf jede Kante des ersten 2, auf jede des zweiten 3 Punkte u. so fort gestellt, u. wendet man endlich auf die Seitenflächen des Polyeders das unter Polygonalzahl angedeutete Verfahren an: so heißt die Anzahl sämmtlicher Punkte, welche ein solches Polyeder enthält, eine P. Da es nur 5 reguläre Körper gibt, so ist die Anzahl der Reihen der P. ebenfalls auf 5 beschränkt. Sie sind Glieder von arithmetischen Reihen dritter Ordnung, deren Anfangsglied 1 ist, u. werden, wie die Polygonalzahlen, nach den griechischen Namen der regulären Körper bezeichnet. Die allgemeinen Glieder dieser Reihen sind für die Tetraedralzahlen 1/6 n (n + 1) (n + 2); für die Oktaedralzahlen 1/3 n (2 n2 + 1); für die Hexaedralod. Würfelzahlen n3; für die Ikosaedralzahlen 1/2 n (5 n2 – 5 n + 2); für die Dodekaedralzahl 1/2 n (9 n2 –9 n + 2). Demnach erhält man, wenn nach einander 1,2,3,_.... statt n gesetzt wird, die
Tetraedralzahl = 1, 4, 10, 20, 35, Oktaedralzahl = 1, 6, 19, 44, 85, Hexaedralzahl = 1, 8, 27, 64, 125, Ikosaedralzahl = 1, 12, 48, 124, 255, Dodekaedralzahl = 1, 20, 84, 220, 455. Marpurg in seinem Progressionalcalcul, Berl. 1774, hat sich mit diesen Zahlen beschäftigt. Die P. sind mit den Polygonalzahlen verwandt.
Pierer's Lexicon. 1857–1865.
