Tetraëder

Tetraëder (v. gr.), 1) ein von 4 Dreiecken begrenzter Körper, jede dreiseitige Pyramide (s.d.). A) Im T. kann man jede Grenzfläche als Grundfläche ansehen. Sind A, B, C, D die Scheitel der 4 Ecken eines T-s, so sollen die 6 Kanten

DA, DB, DC, BC, AC, AB mit
a, b, c, a₁, b₁, c₁,

bezeichnet werden u. je zwei derselben, wie DA u. BC, DB u. AC, DC u. AB, welche keine Ecke gemeinschaftlich haben, Gegenkanten heißen. T., worin je 2 Gegenkanten gleich sind, heißen gleichkantige; worin je 2 Gegenkanten rechtwinkelig gegen einander liegen, rechtkantige; worin eine Ecke eine rechte ist, d.h. wo 3 anstoßende Kanten senkrecht auf einander stehen, rechteckige; worin alle 6 Kanten einander gleich sind, reguläre; vgl Polyeder. Obwohl das T. das einfachste Polyeder ist, so kommen doch bei demselben unmittelbar 44 Stück in Betracht, den Inhalt od. das Volumen des T-s nicht mit gerechnet; nämlich 4 Ecken, 4 Seiten, 6 Kanten, 6 Flächenwinkel, 12 Neigungswinkel der Kanten gegen die Seiten u. 12 ebene Winkel. B) Beziehungen zwischen den Seiten, Keilen u. Kanten des T-s: a) Jede Seite ist gleich der Summe der Producte aus jeder der übrigen in den Cosinus desjenigen Flächenwinkels, welchen diese mit der ursprünglichen einschließt; b) das Quadrat jeder Seite ist gleich der Summe der Quadrate aller übrigen, vermindert um die doppelte Summe der Producte je zweier derselben, wenn jedes der letztern noch mit dem Cosinus des eingeschlossenen Flächenwinkels multiplicirt wird. c) Ist eine Ecke eine rechte, so ist das Quadrat der Gegenseite derselben gleich der Summe der Quadrate der die rechte Ecke einschließenden Seiten; dieser Satz entspricht völlig dem Pythagoreischen Lehrsatze für das rechtwinkelige Dreieck. d) Im gleichseitigen T. sind alle Flächenwinkel u. Ecken beziehungsweise einander gleich, u. der Cosinus jedes Keils ist = ¹/₃, also der Neigungswinkel desselben = 70°31' 44''. e) Wenn man in irgend einem T. das Product je zweier Gegenkanten mit dem Cosinus des Winkels, unter welchem sie gegen einander liegen, multiplicirt, so ist die Summe dieser Producte stets Null. C) Inhaltsbestimmungen des T-s: Der Inhalt jedes T-s ist a) gleich dem sechsten Theile des Productes, dessen Factoren 2 Gegenkanten, der Sinus des Winkels, unter dem sie gegen einander liegen u. der Abstand derselben Gegenkanten von einander sind. b) Gleich dem doppelten Producte zweier Tetraederseiten, multiplicirt mit dem Sinus des eingeschlossenen Flächenwinkels u. dividirt durch die dreifache Kante dieses letzten. c) Die Inhaltsbestimmung des aus Höhe u. Grundfläche, s. Pyramide. D) Eigenschaften des rechtkantigen T-s: a) In jedem rechtkantigen T. haben die vier Höhen,[418] d.h. die vier aus den Ecken auf ihre Gegenseiten gefällten Lothe, einen gemeinschaftlichen Durchschnittspunkt, u. umgekehrt ist jedes T. rechtkantig, wo die Höhen einen gemeinschaftlichen Durchschnitt haben; b) im rechtkantigen T. liegen der Höhendurchschnitt, der Schwerpunkt u. der Mittelpunkt der umschriebenen Kugel in einer Geraden. Der Schwerpunkt halbirt den Abstandder beiden übrigen Punkte; c) in jedem rechtkantigen T. beträgt die Summe der 6 Flächenwinkel u. der 12 Neigungswinkel der Kanten gegen die Tetraederseiten 12 Rechte. Vgl. Müller, Disquisitiones de tetraëdro, Naumb. 1831. 2) Ein von vier dreieckigen Flächen begrenzter Krystall. Bilden diese Flächen gleichseitige Dreiecke, so nennt man es das reguläre T., sind sie gleichschenkelig, so nennt man es das quadratische T., u. sind sie ungleichseitig, das rhombische T.