Bruch [4]

Bruch (Gebrochene Zahl, Math.), ist ein Theil von einer Einheit. I. Gemeine Brüche. Jeder B. besteht aus zwei Theilen: dem Nenner, welcher angiebt, in wie viel gleiche Theile die Einheit getheilt werden soll, u. dem Zähler, welcher angiebt, aus wie viel solcher Theile der B. besteht. Den Nenner schreibt man unter den Zähler u. trennt beide durch einen horizontalen Strich (Bruchstrich), z.B. ⁵/₆, gelesen 5 Sechstel. Ein B. ist also ein Quotient, der aus der Division des Zählers durch den Nenner entsteht, so daß z.B. ⁵/₆ auch wie 5: 6 (fünf dividirt durch sechs) ausgedrückt werden kann. Ein echter B. ist ein solcher, dessen Zähler kleiner ist, als der Nenner, z.B. ³/₄; ein unechter B. ist ein solcher, dessen Zähler größer ist, als der Nenner, der also eine ganze Zahl in sich schließt, z.B. ¹⁴/₅. Eine mit einem B. verbundene ganze Zahl nennt man auch wohl gemischter B.; man verwandelt ihn in einen reinen B., indem man die ganze Zahl mit dem Nenner multiplicirt u. das Product zum Zähler addirt: 8¹/₂ = ¹⁷/₂, Endlich unterscheidet man einfache u. zusammengesetzte od. Doppelbrüche, erstere haben zum Zähler u. Nenner ganze Zahlen, letztere Brüche, z.B. ⁵/₈/²/₂. Letztere kann man nach den Regeln[351] der Division (s. unten) in einfache verwandeln. Jeder B. kann, ohne daß er seinen Werth ändert, im Nenner u. Zähler mit gleichen Zahlen multiplizirt od. dividirt werden; so sind ¹/₂, ²/₄, u. ³/₆ etc. sich einander völlig gleich, ebenso ¹/₃, ²/₆, u. ³/₉ etc. Daher das Aufheben (Abbreviren, Abkürzen) der Brüche, welches darin besteht, daß man Zähler u. Nenner durch eine Zahl, welche in beide aufgeht, dividirt. Um zu sehen, ob sich ein B. heben läßt, u. seinen Divisor zu finden, dividirt man mit dem kleineren seiner beiden Theile in den größeren, dividirt mit dem so erhaltenen Quotienten in den vorigen Divisor u. fährt so lange fort, bis die Rechnung aufgeht od. 1 übrig bleibt; im ersten Falle läßt sich der B. durch den letzten Divisor heben, im zweiten kann er nicht abbrevirt werden. Das Verfahren, mit Brüchen zu rechnen, heißt Bruchrechnung. Es gehört dahin zunächst a) Addition; addirt werden nur die Zähler; sind die Nenner gleich, so kann die Rechnung ohne Weiteres vor sich gehen, z.B. ³/₈ + ⁵/₈ = ⁸/₈; sind aber die Nenner ungleich, so sucht man zunächst einen gemeinschaftlichen Nenner (Generalnenner), d.h. eine Zahl, in welcher sich alle Nenner ohne Rest dividiren lassen, z.B. bei ¹/₆ + ⁵/₉ kann 18 als Generalnenner genommen werden; findet er sich nicht so, so ist er das Product aus allen Nennern, z.B. ¹/₂ + ²/₃ + ³/₅, hier ist er 2 • 3 • 5 = 30. Die addirbaren Brüche werden nun gefunden, indem der Einzelnenner in den Generalnenner dividirt u. der Quotient mit dem Einzelzähler multiplicirt wird; das Product ist der neue Zähler u. der Generalnenner der jedem B. zukommende Nenner; also ⁵/₆ + ³/₈, Generalnenner = 48, also: ⁴⁰/₄₈ + ¹⁸/₄₈ = ⁵⁸/₄₈ = 1¹⁰/₄₈; od.: ¹/₂ + ²/₃ + ³/₅, Generalnenner = 30, also: ¹⁵/₃₀ + ²⁰/₃₀ + ¹⁸/₃₀ = ⁵³/₃₀ = 1²³/₃₀. b) Subtraction. Man bringt die Brüche auf gleiche Nenner, wenn es noch nicht der Fall ist, u. subtrahirt dann die Zähler, der Unterschied wird Zähler für den gesuchten B., welcher den gemeinschaftlichen Nenner auch zu dem seinigen hat; z.B. ³/₄ – ²/₃, Generalnenner = 12, also: ⁹/₁₂ – ⁸/₁₂ = ¹/₁₂. Sind bei der Addition u. Subtraction ganze Zahlen mitgegeben, so werden diese für sich berechnet; doch werden Ganze, die bei der Addition herauskommen, zu den Ganzen addirt, u. wenn bei der Subtraction der Minuendus kleiner ist, als der Subtrahendus, so muß von den Ganzen bei dem Minuendus geborgt werden. c) Multiplication. Werden Brüche mit einander multiplicirt, so multiplicirt man die Zähler mit einander u. die Nenner mit einander u. das Product aus ersteren gibt den neuen Zähler, das aus den letzteren den neuen Nenner, z.B.:

³/₄ × ²/₅ × ⁷/₉ × ⁸/₆ = ^{3 × 2 × 7 × 8}/_{4 × 5 × 9 × 6} = ³³⁶/₁₀₈₀.

Soll ein B. mit einer ganzen Zahl multiplicirt werden, so dividirt man seinen Nenner durch dieselbe, wenn eine Division ohne Rest möglich ist; od. man multiplicirt seinen Zähler mit eben dieser Zahl, z.B.:

5 × ³/₂₅ = ³/₅ u. 5 × ³/₂₄ = ^{5 × 3}/₂₄ = ¹⁵/₂₄.

d) Division. Soll man einen B. durch eine ganze Zahl dividiren, so dividirt man entweder den Zähler durch diese Zahl, wenn die Rechnung ohne Rest aufgeht, od. man multiplicirt den Nenner mit ihr, z.B.:

⁹/₂₈: 3 = ³/₂₈; ⁹/₂₈: 4 = ⁹/₁₁₂.

Soll eine ganze Zahl durch einen B. dividirt werden, so kehrt man den B. um, d.h. man macht seinen Nenner zum Zähler u. diesen zum Nenner, u. multiplicirt, z.B.: 5: ²/₃ = ^{5 × 3}/₂ = ¹⁵/₂. Werden endlich 2 Brüche durch einander dividirt, so kehrt man den Divisor um u. multiplicirt z.B.: ³/₅: ⁸/₉ = ³/₅ × ⁹/₈ = ²⁷/₄₀. Es geht daraus hervor, daß ein B. seinem Werthe nach größer wird, wenn man seinen Zähler multiplicirt od. den Nenner dividirt; aber kleiner, wenn man umgekehrt den Zähler dividirt u. den Nenner multiplicirt; u. zwar wird er so viel mal größer od. kleiner, als die Größe Einheiten hat, mit welcher man ihn multiplicirt od. dividirt. Hieraus geht zugleich der Satz hervor: ein B. bleibt unverändert, wenn man Zähler u. Nenner zugleich mit derselben Zahl multiplicirt ob. dividirt. II. Decimalbrüche, s. d.