Kugeldreieck

Kugeldreieck, Stück einer Kugeloberfläche, welches man erhält, indem sich drei Normalkreise (s.u. Kugel) so schneiden, daß ihre Durchschnittspunkte nicht in einer geraden Linie liegen. Sei ABC ein solches Dreieck, so heißen die drei Bogen AB, BC, CA od. die zum Maße derselben dienenden ebenen Winkel AOB, BOC, COA die Seiten, die Neigungen der Bogen gegen einander aber in den Punkten A, B, C od., was dem gleich ist, die Neigungswinkel je zweier der drei Ebenen AOB, BOC u. COA die Winkel des K-s. Sind drei Punkte, z.B. ABC, auf der Oberfläche einer Kugel gegeben u. man legt durch je zwei derselben einen Normalkreis, so erhält man auf der ganzen Kugelfläche acht Dreiecke, von denen das dem ursprünglichen ABC gegenüberliegende Gegendreieck dasjenige ist, welches zu seinen Ecken die zweiten Durchschnitte der Normalkreise hat od. mit andern Worten, welches jenem symmetrisch diametral gegenüberliegt. Da die drei ebenen Winkel im Kugelmittelpunkte in Summe nicht vier rechten Winkeln gleich kommen können, weil dann eine Kreisfläche sich bilden u. also auch der körperliche Winkel verschwinden würde; so muß auch die Summe der Seiten des K-s kleiner als vier rechte Winkel (od. 360°) sein. Jede Seite muß kleiner als 180° sein, aber auch kleiner, als die Summe der beiden andern. Die Summe der Winkel des K-s ist größer als zwei rechte, kleiner aber als sechs rechte, aber alle drei von einander unabhängige Größen. Man theilt die K-e ein, wie die ebenen, in gleichseitige, gleichschenkelige u. ungleichseitige; ferner in spitzwinkelige, rechtwinkelige, in denen zwei rechte Winkel zugleich sein können, u. stumpfwinkelige. Ein rechtseitiges od. Quadrantendreieck ist das, in welchem wenigstens eine Seite einem Quadranten (Viertelumkreis) gleich ist; ein spärischer Octant, wo alle drei Seiten Quadranten sind u. mithin jeder Winkel = 1 R. Werden zu den drei Seiten AB, AC, CB eines K-s diejenigen drei Pole A', B', C' construirt, welche mit dem Dreieck auf einerlei Seite der Bogen AB, AC, CB liegen, od., was dasselbe ist, verlängert man die Seite bis jede einem Quadranten gleich wird (supplirt man sie zu einem Quadranten) u. legt durch je zwei einen Normalkreis, so heißt das Dreieck A' B' C' das Polardreieck od. Supplementardreieck zu dem ursprünglichen; dieses Dreieck steht mit dem ursprünglichen in wechselseitigem Verhältnisse, die Winkel u. Seiten beider suppliren sich zu einander. Ein rechtseitiges Dreieck hat natürlich kein Supplementardreieck. Diese Dreiecke betrachtet die sphärische Trigonometrie genauer.