Ähnlichkeit

Ähnlichkeit, 1) Übereinstimmung der Dinge hinsichtlich der Qualität u. Form. 2) (Log.) Ä. der Begriffe, das Übereinkommen der Begriffe in gewissen Merkmalen, wie Gold u. Silber einander darin ähnlich sind, daß sie beide Metalle sind. Das Gesetz der Ä., das sich auf die Ideenassociation bezieht, bedeutet, daß ähnliche Vorstellungen od. die Vorstellungen von ähnlichen Dingen einander leicht in dem Bewußtsein erwecken. 3) (Math.), gleiche Art der Entstehung einer Größe aus andern u. Gleichheit der Form verschiedener Größen, wobei jedoch die Quantitäten verschieden bleiben; man unterscheidet analytische u. geometrische Ä. a) Analytische Ä. besteht in Gleichheit der Form zweier analytischer Ausdrücke u. Gleichheit der Verhältnisse zwischen den sie bildenden Größen. So bestehen ab u. cd, jede aus 2 verschiedenartigen Factoren, u. ist nun a: b = c: d, so ist ab ähnlich cd. Producte der Art nennt man ähnliche Flächen- od. Plan-Zahlen. Eben so ist abc ähnlich def, wenn ad: be: cf, diese Producte heißen ähnliche Körperzahlen. Ähnliche Gleichungen sind solche, die aus gleichviel gleichartigen Gliedern bestehen; deren entsprechende Coefficienten in beiden Gleichungen einerlei Verhältniß gegen einander haben; u. in denen die sich entsprechenden Glieder mit gleichen Vorzeichen behaftet sind, z.B. a + bx + cx² + dx³ = M ähnlich der Gleichung α + βx + γx² + δx³ = N sobald sich a: α = b: β = c: γ = d: δ verhält. Ferner sind ähnl. 2 Binomien von der Form (1 + x)ⁿ u. (1 + y)ⁿ wo x, y u. n ganz beliebig sind. b) Geometrische Ähnlichkeit besitzen zwei Figuren, wenn die gegenseitigen Abstände je zweier Punkte der einen Figur in denselben Verhältnissen zu einander stehen, wie die Abstände der entsprechenden Punkte in der andern. Unter gewöhnlichen Figuren kann mithin die eine als eine Wiederholung der andern nach größerem od. kleinerem Maßstabe betrachtet werden. Dieser Definition nach müssen sich ähnliche Figuren in eine solche Lage bringen lassen, daß die beiden Abschnitte aller von einem gewissen Punkte ausgehenden geraden Linien, welche durch die beiden Durchschnittspunkte mit den Umfängen der Raumgestalten begrenzt werden, in demselben Verhältnisse stehen, u. dies Kennzeichen der Ä. reicht nicht nur für geradlinige u. krumlinige ebene Figuren, sondern auch für alle körperliche Gestalten aus, während die herkömmliche Definition, Figuren seien ähnlich, wenn die Winkel gleich u. die einschließenden Seiten proportionirt sind, nur auf geradlinige ebene Figuren anwendbar ist. Jener gemeinschaftliche Ausgangspunkt aller verhältnißgleich geschnitten Geraden heißt der Ähnlichkeitspunkt der Figuren. Das mathematische Zeichen der Ä. ist ~. Insbesondere ergiebt sich aa) rücksichtlich der Ä. ebener Figuren: Alle Kreise sind einander ähnlich Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen gleich zwei Winkeln des andern; wenn zwei Seiten des einen proportionirt zweien Seiten des andern u. die eingeschlossenen Winkel gleich; wenn zwei Seiten des einen proportionirt zweien Seiten des andern, der eine nicht eingeschlossene Winkel für beide Dreiecke gleich, der andere gleichartig (d. h. in beiden entweder ein rechter, od. spitzer, od. stumpfer) ist; wenn die drei Seiten des einen proportionirt denen des andern sind. Viele der sind einander ähnlich, wenn sie aus ähnlichen Dreiecken zusammengesetzt sind, für welche die entsprechenden Seiten durchgängig in demselben Verhältniß stehen; Hiernach sind regelmäßige Vielecke von gleicher Seitenzahl einander ähnlich, die Umfänge ähnlicher Figuren stehen im Verhältniß irgend zweier sich entsprechender Linien in denselben, die Flächeninhalte derselben im Verhältniß der Quadrate solcher Linien; so verhalten sich z.B. die Kreisumfänge wie die Halbmesser, u. die Kreisflächen wie die Quadrate der Halbmesser. bb) Rücksichtlich der Ä. der Körper: dreiseitige Pyhramiden sind ähnlich, wenn eine Ecke der einen congruent mit einer Ecke der andern u. die einschließenden Kanten nach gleicher Ordnung proportionirt sind; wenn die Seitenflächen in derselben Reihenfolge ähnliche Dreiecke sind; wenn alle Kanten in derselben Ordnung proportionirt sind; wenn die Flächenwinkel gleich sind. Polyeder sind ähnlich, wenn sie aus ähnlichen dreiseitigen Pyramiden zusammengesetzt sind, für welche alle Kanten in demselben Verhältniß stehen. Alle regelmäßigen Polyeder von gleicher Seitenzahl sind ähnlich. Alle Kugeln sind einander ähnlich; Cylindern. ebenso Kegel sind einander ähnlich, wenn ihre Achsendurchschnitte es sind. Die Oberflächen u. die Volumina ähnlicher Körper verhalten sich wie die Quadrate, resp. Cubi ähnlich liegender Linien. 4) (Med.). Früher dienten oft unwesentliche, äußere Ä-en zur Bezeichnung von Krankheiten, u. gab man überhaupt sehr viel auf die A. einer Erscheinung, um das allgemeine Gesetz zu finden (Analogie). Mancher Satz der Medicin, jā ganze Lehrgebäude, so die Homöopathie (Ähnliches mit Ähnlichem zu heilen), beruht darauf. Die Ä. ist erblich u. beobachtet man, daß zwischen Großeltern u. Enkeln größere Ä. besteht, als zwischen Eltern u. Kindern.