Differentialrechnung

Differentialrechnung. Die Differenz einer Function y = f(x) ist∆y = f(x + ∆x) – f(x), s. Differenz. Wenn nun die Function y in der[147] Nähe von x, welches als irgend ein bestimmter Werth der unabhängigen Veränderlichen betrachtet wird, stetig ist u. in diesem Falle daher einen reellen Werth hat, so nähert sich, wenn sich ∆x der Null nähert, der Quotient.

einer bestimmten endlichen Grenze bis zu jedem beliebigen Grade. Daß sich ^∆y/_∆x einer endlichen Grenze, deren Vorhandensein erst nachgewiesen werden muß, genähert hat, bezeichnet man mit einem vorgesetzten lim. (d.i. limes, die Grenze), also lim. ^∆y/_∆x. Diese Grenze, die man auch so bezeichnet: ^δy/_δx, heißt der Differentialquotient von y nach x, auch bezeichnet man ihn durch ý od. da y = f (x) durch f(x). Das Product aus dem Differentialquotienten mit der beliebigen Größe ∆x heißt das Differential der Function y u. wird mit δy bezeichnet, also δ y = ^δy/_δx, für ∆x pflegt man gewöhnlich zu schreiben δx u. hat so δy = ^δy/_δx od. ý = f(x) δx, wobei man nicht vergessen darf, daß δx, wenn es allein steht, immer gleichbedeutend mit ∆x ist u. jede beliebige Größe bedeuten kann. Die Entwicklung der Differentiale aller Arten von Functionen nennt man Differentiirenod. Deriviren, u. die Wissenschaft, welche alle Arten von Functionen zu differentiiren lehrt, die Differentialrechnung. Da durch sie die Grenzen der Veränderungen der Functionen ermittelt werden, so kann man sagen, sie sei die Lehre von den Grenzen der Verhältnisse zwischen den zusammengehörigen Änderungen der Functionen u. den Veränderlichen, von denen sie abhängen. Der Differentialquotient ist demnach die Grenze des Verhältnisses der zusammengehörigen Veränderungen u. die Differentiale sind die Grenzen der zusammengehörigen Veränderungen. So wie es höhere Differenzen (s.d.) gibt, so gibt es auch höhere Differentiale u. Differentialquotienten, die auf dieselbe Weise, wie jene, entstanden gedacht werden. Man bezeichnet sie δ²y, δ³y etc., u. die Quotienten ^δ2y/_δx² = y'' = f''(x), ^δ3y/_δx³ = y''' = f'' (x) etc. Die hohe Bedeutung der D. kann am deutlichsten aus folgendem Beispiel ersehen werden, welches den Anlaß zu ihrer Entdeckung gegeben hat u. zugleich den hauptsächlichsten Gegenstand ihrer Untersuchungen ausmacht. Irgend eine krumme Linie wird bekanntlich in der analytischen Geometrie durch eine Gleichung zwischen den Ordinaten u. Abscissen ausgedrückt, so daß die Ordinaten als Function der Abscisse erscheint, Kennt man nun das Verhältniß der Größe der Änderung der Ordinate zur Änderung der Abscisse für irgend eine Stelle der Curve, so kennt man damit die Neigung, welche die Richtung der Curve an dieser Stelle gegen die Abscissenachse hat, od. mit anderen Worten: der Differentialquotient ist die trigonometrische Tangente des Winkels, welchen die Berührende an der Curve für jenen Punkt mit der Abscissenachse bildet. Hiernach ist durch die D. das Problem der Tangenten für beliebige Curven als gelöst zu betrachten. Leibnitz kann als Begründer der D. angesehen werden. Besonders wurde sie von den beiden Bernoulli u. von de l'Hopital vielfach angewendet u. erweitert. Hauptwerke: Euler, Institutiones calculi differentialis, Berl. 1755; Lacroix, Traité du calcul différentiel et du calcul intégral, Paris an V (1797); Lobisch, Faßliche Darstellung der Elemente der D., Bresl. 1837; Miednicz, Handbuch der D. u. Integralrechnung, Berl. 1838; Cauchys Vorlesungen über die D., aus dem Französischen von Schnuse, Braunschw. 1836; Grunert, Elemente der D. u. Integralrechnung, 1. Th., Lpz. 1837; Cournot, Theorie der Functionen, deutsch von Schnuse, Darmst. 1845; Schlömilch, Compendium der höheren Analysis, Braunschw. 1853.