Epicykloide

Epicykloide (v. gr.), krumme Linie, welche ein in der Ebene eines Kreises befindlicher Punkt beschreibt, indem dieser Kreis auf den Umfang eines andern, in derselben Ebene mit ihm liegenden Kreises sich um seinen Mittelpunkt wälzt. Der letzte bildet dann für jenen Kreis, als erzeugenden, die Basis. Die E. ist eine äußere, wenn die Wälzung auf der convexen, eine innere (Hypocykloide), wenn sie auf der concaven Seite ihrer Basis geschieht. Außer der eigentlichen E. unterscheidet man auch eine verkürzte, wenn der beschreibende Punkt außerhalb, u. eine gestreckte, wenn er innerhalb des Umfangs des bewegten Kreises liegt. Im ersten Fall ist die Kreisbewegung des beschreibenden Punktes größer, im letztern Fall kleiner, als die fortrückende Bewegung des Kreises auf dem Grundkreise. Analytisch wird die E. durch das System folgender zwei Gleichungen ausgedrückt:

x = (r + a) cos.t – (a cos.(r + a)/a) ∙ t y = (r + a) sin.t – (a sin.(r Ő a)/a) ∙ t

wobei der Mittelpunkt des festen Kreises der Coordinatenanfang, r sein Halbmesser u. a der Halbmesser des rollenden Kreises, t aber eine veränderliche Größe ist, welche zwischen beiden Gleichungen[795] eliminirt werden müßte, wenn man eine einzige Gleichung für die Curve erhalten wollte. Unter die bemerkenswerthen Eigenschaften der E. gehört, daß der Flächeninhalt der ganzen Curve, = (n + 1) (n + 2) mal der Flächeninhalt des rollenden Kreises ist, wenn a in r n mal enthalten ist. Ist der Halbmesser des festen Kreises unendlich groß, dieser selbst also eine gerade Linie, so geht die E. in eine Cykloide über; ist r = a, so wird die E. zu einer Cardioïde. Eine sphärische E. wird von einem Punkte eines, sich um seinen Mittelpunkt drehenden Kreises beschrieben, indem derselbe zugleich auf einem andern Kreise herumgeführt wird, der in einer andern Ebene liegt, welche aber mit der Ebene jenes einen unveränderlichen Winkel macht. Eine solche wird mit einem Punkte des Umfangs der Grundfläche eines senkrechten Kegels beschrieben, der eine Ebene mit einer Seite berührt, u. auf ihr herumrollt, während die Spitze an derselben Stelle bleibt. Die eigentliche E. findet ihre Anwendung in der Mechanik. Die Zähne der Kämme der Räder in Maschinen u. die Hebedaumen, welche Hebel bewegen, müssen epicykloidisch geformt sein, wenn die Maschinen gleichförmigen Gang haben sollen.