Coordinaten

Coordinaten (v. lat.), sind in einer Ebene zwei unbegrenzte, einander in einem Punkte, O gewöhnlich bezeichnet, durchschneidende gerade Linien XX', YY' gezogen, so wird jede derselben in zwei Stücke getheilt, die von dem Durchschnittspunkte aus in entgegengesetzter Richtung fortlaufen. Die Richtung eines von den beiden Stücken in jeder der beiden Geraden wird daher negativ sein, wenn die des anderen als die positive angesehen wird. Zieht man nun durch irgend einen in derselben Ebene befindlichen Punkt M zwei mit XX', YY' parallele Linien, bis jede verlängert der ihr nicht parallelen begegnet, so werden dadurch resp. auf YY' u. XX' von O aus gerechnet, Abschnitte begrenzt, welche nach Größe u. Richtung völlig bestimmt sind; u. umgekehrt ist auch die Lage des Punktes bestimmt wenn jene Stücke gegeben sind. Ein Paar solche, die Lage eines Punktes bestimmende Stücke heißen die C. dieses Punktes u. die Geraden XX', YY' auf welchen sie abgeschnitten sind, die Coordinatenachsen. Der diesen beiden gemeinschaftliche Punkt O wird der Coordinatenanfang, u. der Winkel der Achsen im oberen Felde rechts, YOX, der Coordinatenwinkel genannt. Einzeln nennt man die auf der einen Achse, gewöhnlich XX', liegende C. die Abscisse u. bezeichnet sie mit x, u. die Achse selbst die Abscissenachse, die auf der anderen Achse YY' liegende die Ordinate, mit y bezeichnet, u. diese Achse die Ordinatenachse. Alle Abscissen u. Ordinaten, wodurch eine ganze Reihe von Punkten bestimmt wird, heißen zusammen ein Coordinatensystem. Ist der Winkel YOX ein rechter, so heißt das System ein rechtwinkeliges od. orthogonales, die C. selbst Orthogonale; ist er ein schiefer, ein schiefwinkeliges, loxogonales u. die C. Loxogonale. Erstere Systeme kommen vorzüglich in Anwendung. Soll die Lage eines Punktes im Raume bestimmt werden, so kann man sich dazu dreier C. bedienen, x, y, z, welche auf drei in einem Punkte O sich schneidenden C-achsen abgemessen werden, unter denen die dritte, Z Z' gegen die Ebene der beiden anderen geneigt ist. Je zwei dieser Achsen bestimmen die Lage einer Coordinatenebene, u. zwar pflegt man die durch XX' u. YY' gelegte Ebene die Ebene der xy, die durch XX' u. ZZ' gelegte die Ebene der xz etc. zu nennen. Man findet dann die Lage eines Punktes aus seinen drei C. xyz, indem man durch einen Punkt der XX' welcher sich im Abstande x von O befindet, eine [427] Parallele zur YY' von der Länge y u. durch deren Endpunkt eine Parallele zur ZZ' von der Länge z zieht. Die bisher beschriebenen Arten der C. heißen auch mit einem gemeinschaftlichen Namen Parallele C., im Gegensatz zu den Polar- od. Spiral- C. Denkt man sich nämlich eine Gerade OX u. nimmt O zum Anfangspunkt, so wird die Lage eines beliebigen Punktes M in derselben Ebene durch die Länge von MO u. den Winkel vollkommen bestimmt. MO (mit r bezeichnet) heißt dann der Radius vector od. Leitstrahl u. (φ) der Drehungswinkel, beide Größen zusammen aber Polar- C.; die nach X unbegrenzte Linie OX heißt die Spiralachse u. O der Pol. Soll die Lage eines Punktes im Raume durch Polar-C. bestimmt werden, so bedarf man dazu wieder drei Größen: erstens die Länge des Radius vector, zweitens den Winkel, welchen der Radius vector mit seiner Projection auf eine als Basis dienende Ebene (gewöhnlich die Ebene der xy genannt) bildet; endlich den Winkel, welchen diese Projection mit der Achse OX bildet. Ist eine Linie gegeben, so gehören zu jedem ihrer Punkte andere C.; zwischen je zwei zusammengehörenden C. wird aber, wenn die Linie eine gesetzlich entstandene u. nicht ganz willkührlich gezogene ist, eine sich gleichbleibende arithmetische Beziehung bestehen, die in Form einer, od. bei Linien im Raume zweier Gleichungen sich darstellt; z.B. für die Kreislinie vom Halbmesser r ist, wenn ein rechtwinkeliges C-system gewählt wird, dessen Anfangspunkt mit dem Kreismittelpunktzusammenfällt, x² + y² = r². Wenn aber umgekehrt eine, resp. zwei Gleichungen zwischen den C. gegeben sind, so entspricht ihnen im Allgemeinen eine gewisse Linie. Die Eigenschaften derselben aus der Gleichung zu entwickeln, ist Aufgabe der analytischen Geometrie. Coordinatenverwandelung od. Coordinatentransformation ist das Verfahren, nach welchem man anstatt des einer gegebenen Gleichung zu Grunde liegenden C-systems ein anderes einführt, welches entweder einen anderen C-anfang, od. einen anderen C-winkel hat, als das erstere, od. auch in Polar-C. besteht anstatt Parallel-C. u. umgekehrt. Die C-verwandelung ist deshalb wichtig, weil durch die richtige Wahl des C-systems es oftmals ungemein erleichtert wird, die Eigenschaften einer Linie zu entdecken. Die Erfindung der Methode, krumme Linien durch Gleichungen zwischen den C. ihrer Punkte auszudrücken, rührt von Cartesius her. In neuerer Zeit (1827) ist von Möbius eine neue Methode, die Lage von Punkten, Linien u. Flächen zu bestimmen, erfunden worden, welche er die barycentrische nennt. Sie nimmt statt C-achsen, als unveränderliche zu jeder Bestimmung erforderliche Stücke, gewisse Fundamentalpunkte an u. denkt die zu bestimmenden Punkte als Schwerpunkte der Fundamentalpunkte. An die Stelle der veränderlichen C. treten sonach hier die veränderlichen Coefficienten der Fundamentalpunkte, welche in jedem Falle so zu wählen sind, daß der zu bestimmende Punkt der Schwerpunkt wird. Sind die Punkte in einer Linie, od. in einer Ebene, od. im Raume überhaupt zu bestimmen, so sind resp. 2, 3, 4 Fundamentalpunkte erforderlich. Die zu Grunde gelegten Stücke sind dann beziehungsweise eine Fundamentallinie, ein Fundamentaldreieck, eine Fundamentalpyramide.