Kegelschnitt

Kegelschnitt, 1) (Chir.), so v.w. Trichter schnitt, s.u. Amputation c); 2) (Sectione conicae), ebene Figuren (Linien, od. auch Flächen), die man erhält, wenn man einen Kegel, denen Directrix ein Kreis ist, mit einer ebenen Fläche durchschneidet. Es sind deren fünf möglich, von denen aber nur die drei letzteren diesen Namen führen: a) wird der Schnitt durch den Scheitel des Kegels geführt, so bekommt man ein geradliniges Dreieck; b) ist er parallel der Basis, so ist er ein Kreis. Denkt man sich nun gegen die schneidende Ebene eine zweite senkrecht durch die Spitze des Kegels geführt, so schneidet dieselbe den Kegel nach a) in einem Dreieck, u. diejenige Seite dieses Dreiecks, welche von der ersten schneidenden Ebene nicht getroffen wird, soll die gegenüberliegende Seite des Kegels heißen. Ist nun c) die schneidende Ebene der gegenüberliegenden Seite des Kegels parallel, so heißt ihr Schnitt mit dem Mantel des Kegels die Parabel; d) convergirt die schneidende Ebene mit der gegenüberliegenden Seite des Kegels so, daß sie dieselbe noch unterhalb der Spitze trifft, so heißt der Schnitt eine Ellipse; e) divergirt die schneidende Ebene mit der gegenüberliegenden Seite des Kegels nach unten u. convergirt nach oben, doch so, daß sie erst die Verlängerung über die Spitze hinaus trifft, so heißt der Schnitt eine Hyperbel. Die Hyperbel liegt also sowohl im Kegel als auch im Gegenkegel u. besteht folglich in zwei von einander getrennten Zweigen, von denen jeder wieder aus zwei zusammenhängenden unendlich langen u. immer weiter aus einander tretenden Schenkeln besteht. Die Ellipse liegt nur im Kegel u. stellt eine krumm geschlossene Linie dar. Die Parabel trifft gleichfalls den Gegenkegel nicht u. besteht folglich in Einer zusammenhängenden Curve, deren beide Schenkel, der nach unten bis ins unendliche, aus einander gehen. K. sind die einander collinear verwandt, d.h. sie können dergestalt in zwei Ebenen gebracht werden, daß die Linien, welche man von einem Punkte des Raumes nach Punkten des einen K-s zieht, hinreichend verlängert durch entsprechende Punkte des andern gehen; od. die Punkte des einen entsprechen den Punkten des andern dergestalt, daß, wenn man in dem einen eine beliebige Gerade zieht, von allen Punkten, welche von dieser Geraden getroffen werden, die entsprechenden Punkte im andern K. gleichfalls durch eine Gerade verbunden werden können. Die Erfindung der K. wurde durch das Delische Problem (s.d.) von der Verdoppelung des Würfels veranlaßt u. stammt aus der Platonischen Schule. Die ältesten Mathematiker schnitten sie bloß aus gleichseitigen Kegeln, Apollonios (s.d. 6) hat Alles zusammengestellt, was bis dahin von den K-n bekannt war, zugleich aber erwiesen, wie jeder Kegelschnitt aus jedem Kegel erhalten werden kann. Man kann die K. zwar durch geometrische Bestimmung vieler Punkte, die man hernach mit freier Hand zusammenhängt, vorzeichnen; man hat aber auch allerhand mathematische Instrumente, mit denen man sie, wie den Kreis mit dem Zirkel, zeichnen kann, Fr. von Schooten, Collin Marc Laurin, Newton, L'Hopital, G. W. Kraft haben dergleichen angegeben. Als Me. hoden in der Lehre von den K-n können drei unterschieden werden: a) die reine geometrische der Alten; b) die geometrisch-algebraische, welche die Verhältnisse der in den drei Curven gezogenen geraden Linien durch Gleichungen ausdrückt u. aus diesen durch Rechnung, mit Zuziehung geometrischer Constructionen, neue Sätze u. die Auflösungen der Aufgaben herleitet; c) die analytisch-trigonometrische, welche Euler auch aus die K. angewendet hat. vgl. La Hire, Lectiones conicae, Par. 1585; L'Hopital, Traité analitique de la section conique, Par. 1707 u. 1720; R. Simson, [408] Lectiones conicae, Edinb. 1751; Grüson, Die K-e, Berl. 1820; Grunert, Die K-e, Lpz. 1823; Hamilton, Lehre von den K-en, übersetzt von Feldhoff, Cobl. 1825; Möbius, Barycentrischer Calcul, Lpz. 1827; Plücker, Analyt. geometr. Entwickelung der K-e, 1828–35; Zech, Die höhere Geometrie in ihrer Anwendung auf K-e, Stuttg. 1857.