Ellipse

Ellipse (v. gr.), 1) Gramm.), Auslassung eines, zur Vollständigkeit eines Satzes nothwendigen, jedoch durch den Zusammenhang leicht zu ergänzenden Redetheiles. Die E. findet meist in, durch den Sprachgebrauch üblich gewordenen Redensarten, bes. in Formeln, Sprüchwörtern, bei eilfertiger Rede, im Affect etc. Statt. Lamb. Bos, Mysterium ellipsios graecae, Franeck. 1712 u.ö., zuletzt von Schäfer, Lpz. 1808 u. Oxf. 1813; El. Palaeret, Thesaurus ellipsium latinarum, Lond. 1760, u. Aufl. von Runkel, Lpz. 1830; Lindner, Über die lateinische Ellipse, Frkf. 1780; Walther, Ellipses hebraicae, Halle 1782; 2) (Rhet.), so v.w. Aposiopese; 3) (Math.), eine krumme Linie, welche durch folgende Gleichung zwischen rechtwinkeligen Coordinaten x u. y gegeben ist: y² = px – qx², daher ihr Name, indem bei ihr das Quadrat der Ordinate kleiner als das Rechteck aus der Abscisse u. der constanten Linie p ist, während es bei der Parabel dem letzteren gleich, bei der Hyperbel größer ist. Es gibt noch viele andere Definitionen der E., welche auf eben so vielen merkwürdigen Eigenschaften derselben beruhen; unter ihnen ist die gebräuchlichste diese: sie ist eine krumme, geschlossene Linie, von der Eigenschaft, daß die Summe der beiden Abstände jedes ihrer Punkte von zwei festen Punkten, den Brennpunkten, eine constante Größe ist. Diese letztere Eigenschaft benutzt man zur organischen od. mechanischen Construction der E., d.h. zu einer solchen, bei welcher nicht blos einzelne Punkte gefunden werden, sondern stetig der ganze Zug der Linie entworfen wird; man befestigt nämlich an zwei in den Brennpunkten errichteten Stiften die Enden eines Fadens, spannt denselben durch einen senkrecht gehaltenen Bleistift an u. führt dessen Spitze, während die Schnur immer gespannt bleibt, rings um die beiden Punkte herum. Je weniger die Länge des Fadens die Entfernung der beiden Brennpunkte übertrifft, desto gestreckter wird die E., je kleiner aber der Abstand der Brennpunkte im Vergleich zur Länge der Schnur ist, desto weniger weicht die E. von einem Kreise ab. Die Verbindungslinie der Brennpunkte bis zum Durchschnitt[651] mit der E. beiderseits verlängert heißt die große Achseder E., ihre von den Brennpunkten beiderseits gleichweit entfernten Endpunkte die Scheitel der E., der Mittelpunkt der großen Achse heißt der Mittelpunkt der E., das Perpendikel auf der großen Achse im Mittelpunkt errichtet u. bis zur E. beiderseits verlängert, die kleine Achseder E.; es ist leicht einzusehen, daß der Abstand eines Endpunktes der kleinen Achse von jedem Brennpunkte gleich der halben großen Achse ist; das Verhältniß des Abstandes der beiden Brennpunkte zur großen Achse heißt die Excentricität der E.; eine durch einen Brennpunkt gehende, auf der großen Achse senkrechte Sehne der Parameter; eine beliebige, von einem Brennpunkte nach einem Punkt der E. gezogene Gerade ein Leitstrahl od. Radiusvector. Für die angeführte Gleichung der E. liegt der Coordinatenanfang in dem einen Scheitel, sie heißt daher Scheitelgleichung der E.; der constante Factor p in ihr ist der Parameter. Nimmt man aber den Mittelpunkt zum Anfangspunkte der Coordinaten u. setzt dann p = 2 b²/a u. q = b²/a² ein, so erhält man die Mittelpunktsgleichung a² y² + b² x² = a² b² die constanten Größen a u. b in ihr sind die halbe große u. kleine Achse der E.; daher ist die kleine Achse die mittlere Proportionale zwischen der großen Achse u. dem Parameter. Nimmt man aber einen Brennpunkt zum Coordinatenanfang u. formt die Gleichung für Polarcoordinaten um, wobei man noch für den Ausdruck der Excentricität

die Größe ε einsetzt, so erhält man

für Parameter 2 a (1– ε 2) die Größe p einführt, r = ¹/₂p/1 + εcosϕ als P Polargleichung der E. Die letzteren Gleichungen kommen namentlich in der Astronomie zur Anwendung. Zu den wichtigsten Eigenschaften der E., die sich aus den genannten Gleichungen auf analytischem Wege leicht herleiten lassen, gehören außer den bereits erwähnten folgende: die Tangente in jedem beliebigen Punkte der E. bildet mit den beiden nach dem Berührungspunkte gezogenen Leitstrahlen gleiche Winkel, daher werden Lichtstrahlen, welche aus einem Brennpunkte eines elliptischen Spiegels ausgehen, im anderen wieder vereinigt. Jede durch den Mittelpunkt gehende Sehne wird im Mittelpunkt halbirt u. ist ein Durchmesser; sie halbirt nämlich alle Sehnen, welche den in ihren Endpunkten construirten Tangenten parallel sind, sowie auch umgekehrt alle dem gedachten Durchmesser parallele Sehnen durch den jenen Tangenten parallelen Durchmesser halbirt werden. Zwei solche Durchmesser heißen conjugirte od. verbundene Durchmesser, der von ihnen eingeschlossene Winkel der Verbindungswinkel. Die Summe der Quadrate zweier conjugirter Durchmesser ist gleich der der beiden Hauptachsen; das Parallelogramm, welches durch Verbindung der Endpunkte zweier conjugirter Durchmesser entsteht, ist gleich dem Rhombus, dessen Ecken die Endpunkte der großen u. kleinen Achse sind. Der Flächeninhalt der E. ist = π ab, also gleich einem Kreise, dessen Halbmesser gleich der mittleren Proportionale aus den beiden Halbachsen ist; auch ist er gleich dem Producte aus zwei conjugirten Durchmessern u. dem Sinus ihres Verbindungswinkels. Die Rectification der E. kann nicht in einem geschlossenen Ausdruck gegeben werden, vielmehr gehört das Integral

durch welches der Umfang der E. zu berechnen ist, zu derjenigen Gattung transscendenter Functionen, welche man Elliptische Functionen (s.d.) nennt. Wenn man durch irgend einen Punkt eines Kegels, dessen Grundfläche ein Kreis ist, eine Ebene legt, welche mit der gegenüberstehenden Seite des Kegels, nicht deren Verlängerung, convergirt, so schneidet die Ebene den Kegel in einer E., daher rechnet man die E. zu den Kegelschnitten, u. sie ist den anderen Kegelschnitten, Parabel u. Hyperbel, collinearverwandt. Vgl. Fialkowski, Bestimmung der Achsen beu der E., Wien 1856.