Zahnräder

Zahnräder, die vollkommenste Art des Räderwerkes (s.u. Rad 1) B) b). Die Übertragung der Bewegung einer Welle auf eine andere Welle erfolgt bei den Z-n dadurch, daß jedes der auf den Wellen sitzenden Z. mit abwechselnden Erhöhungen (Zähnen) u. Vertiefungen (Zahnlücken) ausgerüstet ist,[505] wobei immer die Zähne des eines Rades in die Zahnlücken des anderen hineinragen u. die Zähne des Treibers od. Treibrades, von welchem die Bewegung ausgeht, sich an die Zähne des Getriebes od. Triebrades, auf welches die Bewegung übertragen wird, anlegen u. bei ihrer eigenen Bewegung dieselben fortbewegen u. so die getriebene Welle selbst in Umdrehung versetzen. Die Z. lassen sich anwenden, wenn die Achsen der beiden Wellen parallel sind, wenn sie sich schneiden u. wenn sie sich kreuzen. Bei der Übertragung der Bewegung kann die Bewegung selbst verändert werden in Bezug auf den Sinn der Drehung, auf das Gesetz od. die Art der Bewegung u. auf das Maß der Drehung od. die Winkelgeschwindigkeit. Eine Änderung der Geschwindigkeit wird bei Z-n meist beabsichtigt, weshalb dieselben auch gewöhnlich von verschiedener Größe sind. Rücksichtlich des Sinnes der Umdrehung ist nicht zu übersehen, daß die Wellen zweier, unmittelbar mit einander in Eingriff stehender Räder sich in demselben od. im entgegengesetzten Sinne umdrehen, je nachdem sich die Z. von innen od. von außen berühren. Die Art der Bewegung soll in den meisten Fällen, bes. wo es sich um eine Übertragung von Arbeit handelt, nicht geändert werden, vielmehr soll da meist das getriebene Rad wie das treibende sich gleichförmig bewegen.

I. Zahnräder ohne Änderung der Bewegungsart. Da die Z. in Folge des bei ihnen stattfindenden Eingriffes der Zähne an den sich berührenden Umfängen nicht an einander gleiten, sondern sich nur so bewegen können, daß die Berührungsstelle auf dem Umfang des treibenden u. des getriebenen um gleich viel Zähne fortrückt, die beiden Z. also in jedem Momente gleiche od. doch stets in dem nämlichen Verhältnisse zu einander stehende Umfangsgeschwindigkeiten v u. V haben, diese Umfangsgeschwindigkeiten aber gleich den Producten aus den entsprechende Winkelgeschwindigkeiten w u. W u. den zugehörigen Entfernungen r u. R der Berührungsstelle von den beiden Umdrehungsachsen sind, so müssen auch die Producte wr u. WR stets in demselben Verhältnisse zu einander stehen, u. man sieht, daß das Verhältniß der Winkelgeschwindigkeiten sich gleichzeitig, aber umgekehrt ändern muß, wenn sich das Verhältniß der Entfernungen r u. R ändert; da nun ferner die Entfernung u. Lage der beiden Achsen unveränderlich ist, so bleibt das Winkelgeschwindigkeitsverhältniß unverändert, wenn in einer u. derselben Umdrehungsebene auch r u. R sich nicht ändern, d.h. wenn diese Räder im allgemeinen die Form eines Umdrehungskörpers haben; denkt man sich diese Z. durch Reibungsräder ersetzt, so werden sich diese immer in derselben Linie berühren. A) Material u. Herstellung der Z. Die Z. sind entweder von Holz od. von Eisen, seltener u. nur kleine Z. aus Messing od. Stahl. Man unterscheidet an den Z-n die Hülfe od. Nabe, die Radarme, den Radkranz u. die Zähne. a) Bei den hölzernen Z-n ist keine Nabe vorhanden, sondern die vier bis zwölf Arme sind unmittelbar mit der Welle verbunden, u. je nachdem die Arme durch die Welle selbst hindurchgesteckt sind od. nicht, unterscheidet man die Z. in Sattelräder u. Sternräder (vgl. Wasserrad I.); die Kränze sind aus zwei od. drei durch hölzerne Nägel od. Schrauben verbundene Felgenschichten auf dem Radstuhle zusammengesetzt, deren jede vier bis acht Felgen enthält; der Radstuhl ist ein aus sternförmig verbundenen horizontalen Balken bestehendes Gestell, in dessen Mitte ein 1 Zoll starker Bolzen (Mönch) befestigt ist, um welchen sich ein langes Lineal (Radzirkel) drehen läßt u. mit einer Reißspitze an seinem Ende den Radumfang aufreißt; der Radkranz wird auf die Arme aufgeblattet u. mit eisernen Schrauben mit ihm fest verbunden. Die Zähne od. Kämme (s.d. 22) u. Kammrad) haben lange Stiele, mit denen sie in bes. ausgearbeitete Löcher zwischen den Felgenlagen des Radkranzes eingesetzt werden u. welche auf der Innenseite des Rades noch 2 Zoll vorstehen u. hier durch schwache Nägel verriegelt werden. Breite Kämme befestigt man wohl auch mit ihren Enden in zwei parallelen Kränzen od. Scheiben u. nennt das Rad dann Drehling, Trilling od. Getriebe (s.d. 4). Nur selten noch bringt man die Kämme auf der ebenen Seitenfläche des Rades (Kron- od. Kammrad) an. b) Bei den eisernen Rädern sind die Zähne entweder aus Eisen u. mit dem Kranz zusammengegossen, od. sie sind aus Holz u. als Kämme eingesetzt; einen sehr sanften Gang u. geringe Reibung erhält man, wenn ein Rad mit eisernen Zähnen u. eins mit hölzernen in einander eingreifen. Zu Holzkämmen wählt man Weißbuche, Ahorn, Esche. Große Räder, über 8–10 Fuß Durchmesser, gießt man nicht gern aus dem Ganzen, weil sie bei ungleichem Erkalten leicht springen; man gießt vielmehr Arme u. Kranz besonders u. verbindet sie durch Schrauben; den Armen gibt man zur Verstärkung meist Rippen. Gleiches geschieht auch oft an der Nabe u. am Kranz auf der Innenseite; die Welle wird da, wo das Rad aufsitzt, zu einem Kopf verstärkt u. mit der Nabe durch einen od. mehre Keile verbunden. Die Ausarbeitung der eisernen Zähne erfolgt auf zweierlei Weise, entweder sie werden gleich nach hölzernen od. metallenen Modellen in Sand mit geformt u. gegossen u. dann durch Befeilen unter Mithülfe einer Lehre (Zahnlehre) ausgebessert u. berichtigt, od. man gießt den Rand voll, dreht ihn ab u. arbeitet mit dem Räderschneidzeug die Zahnlücken ein. B) Zahnverhältnisse u. Abmessungen. Die Fläche, über welche die Zähne od. Kämme aus dem Radkörper vorstehen, nennt man den Radboden; die Abmessung der Zähne parallel zur Radachse heißt die Zahnbreite, in radialer Richtung die Zahnlänge od. Zahnhöhe; mit dem Zahnfuß steht der Zahn auf dem Boden, mit dem Zahnkopfe steht er frei; die beiden die Bewegung übertragenden Seitenflächen (Zahnflanken) sind symmetrisch gegen das Zahnmittel, d.h. die durch die Radachse gehende Mittelebene des Zahnes, die beiden anderen Seitenflächen (End- od. Stirnflächen) macht man einander parallel. Denkt man sich die Bewegung durch zwei unendlich dünne Scheiben (als Reibungsräder) übertragen, so müßten diese (s. oben I.) kreisförmig sein, ihre Umfänge würden sich berühren u. ihre Umfangsgeschwindigkeiten in einem unveränderlichen Verhältnisse zu einander stehen; zwei Kreise in zwei aufeinander wirkenden Z-n nennt man, wenn sie gleiche Umfangsgeschwindigkeit haben, Verhältnißkreise, u. zwei solche Verhältnißkreise können rücksichtlich der Bewegungsübertragung als Reibungsräder die Z. selbst ersetzen u. die Z. müssen so geformt werden, daß sich in ihnen Verhältnißkreise nachweisen lassen. Gibt es in zwei Z-n einmal ein Paar Verhältnißkreise, so gibt es unzählig viele. Zwei[506] sich berührende Verhältnißkreise wählt man zur Bestimmung der Abmessungen der Zähne, der Zahntheilung u. nennt sie deshalb Theilkreise od. Theilriffe; die Zahntheilung t ist der zwischen zwei benachbarten Zahnmitteln liegende Bogen des Theilkreises u. besteht aus der ebenfalls im Theilkreise gemessenen Zahndicke od. Zahnstärke d u. der Zahnlücke; die Zähne der in einander eingreifenden Z. bekommen (wenigstens wenn beide Z. aus demselben Materiale sind) gleiche Zahndicke, die Zahnlücke macht man aber etwa, ¹/₁₀ größer als die Zahndicke, damit sich die Zähne in den Zahnlücken nicht festklemmen; daher wird t – 2,1 d. Die Zahnbreite macht man bei langsam umlaufenden Z-n 4 bis 5, bei schnell umlaufenden 6 bis 7 mal so groß als d. Die Zahndicke bestimmt sich aus der Festigkeit des Materials u. der Größe der Kraft, welche der Zahn zu übertragen bestimmt ist; aus der so bestimmten Theilung t u. dem Theilkreishalbmesser od. Radhalbmesser r erhält man dann die Zähnezahl z mittelst der Gleichung zt – 2 π r, worin π = 3,14159... ist; z kann nur eine ganze Zahl sein u. man muß darauf bei Feststellung von t od. r Rücksicht nehmen. Bezeichnen nun w u. W die Winkelgeschwindigkeiten, r u. R die Halbmesser, z u. Z die Zähnezahlen u. n u. N die Umdrehungszahlen für eine Minute beim treibenden u. getriebenen Rade, so ist das Übersetzungsverhältniß od. die Übersetzungszahl x = W/w = N/n, u. sofern beide Räder gleiche Umfangsgeschwindigkeit haben, auch x = r/R = z/Z.

C) Zahnform u. Verzahnung der

Z. Bei der Wahl der Zahnform geht man theils auf eine sehr einfache Herstellungsweise, theils auf die Herstellung von Satzrädern aus. Unter einem Rädersatz versteht man eine Reihe von Z-n mit gleicher Theilung, welche so beschaffen sind, daß irgend zwei aus dem Satze genommene Z. in richtigem Eingriff, zu richtigem Zusammenwirken gebracht werden können; Einzelräder dagegen können immer nur paarweise mit einander in richtigen Eingriff kommen u. müssen bes. für einander construirt sein, es kann daher wohl das eine gleichzeitig mit zwei anderen in richtigem Eingriff stehen, dann aber die beiden letzteren nicht unter sich; bei Satzrädern sind die Flanken beider Z. gekrümmt, bei Einzelrädern dagegen kann man dem einen eine sehr einfache Zahnform geben u. namentlich häufig versieht man das eine mit Holzkämmen, deren Flanken man eben macht. Man hat durch theoretische Betrachtungen (Theorie der Verzahnung) gewisse Formen der Zähne aufgesucht, bei denen ein richtiger Eingriff stattfinden muß. Um aber bei der praktischen Ausführung dieser Zahnformen nicht auf Schwierigkeiten zu stoßen, hat man ferner Kreisbögen aufgesucht, durch welche jene krummen Linien, nach denen die Zahnflanken in der richtigen Form herzustellen wären, möglichst annähernd ersetzt werden können. Die Gestalt der Zahnflanken richtet sich nach der Lage der Radachsen gegen einander; in allen Fällen sucht man aber erst einen Zahnumriß od. Zahnriß auf, d.h. den Schnitt der Zahnflanken mit irgend einer anderen Fläche u. formt dann die Flanke nach dem Zahnriffe. a) Cylindrische Z. od. Stirnräder. Wenn die Achsen zweier Z. parallel sind, also überall gleich weit von einander abstehen, so ist an jeder Stelle r ch R – dem Achsenabstände u. die in I. B) aufgestellte Gleichung für x erfordert, daß r u. R an jeder Stelle der Breite des Rades dieselbe Größe habe, also die Grundform beider Räder cylindrisch sei; die Berührung der Theilkreise kann dabei eine äußere od. innere sein, u. demnach sind die Z. entweder beide von außen od. eins von außen u. das andere von innen verzahnt; bei dem innen verzahnten Rade erstrecken sich die am inneren Umfang des Radkranzes sitzenden Zähne vom Radboden nach der Achse hin, bei den außen verzahnten sitzen sie am äußeren Umfang des Kranzes u. erstrecken sich radial nach außen. In beiden Fällen bewegt sich jeder Punkt der einen Zahnflanke in einer zu seiner Achse senkrechten Ebene u. kann daher auch nur mit Punkten eines Zahnes des anderen Rades in Berührung kommen, welche sich in derselben, auch zur Achse des zweiten Rades senkrechten Ebene bewegen; legt man daher eine zu den beiden Achsen senkrechte Ebene durch die Flanken eines Stirnräderpaares, so schneidet diese die Flanken in zwei zusammen arbeitenden Zahnriffen; letztere sind also ebene krumme Linien, u. zwar können sie, wie eine eingehende theoretische Untersuchung zeigt, Cycloiden od. Kreisevolventen sein. Die relative Bewegung der beiden Räder bei der Drehung beider ist nämlich genau dieselbe, als ob das eine ganz unbeweglich wäre u. das andere auf diesem sich fortwälzte, also fortschreitend u. drehend zugleich bewegte. Die Zähne selbst sind in beiden Fällen prismatische Körper, welche man erhält, indem man eine der Achse parallele Gerade sich am Zahnriß hinbewegen läßt. Die Kopfflächen u. der Radboden sind ebenfalls cylindrisch u. ihre Entfernung, d.h. die Zahnlänge, macht man ³/₄ t, läßt aber den Zahn sich über u. unter dem Theilkreise erstrecken; sind beide Räder krummflankig, so macht man den Zahnkopf (über dem Theilkreise), ⁴/₁₂ t, den Zahnfuß (unter dem Theilkreise), ⁵/₁₂ t lang; ist ein Rad krummflankig, das andere geradflankig, so macht man bei ersterem den Kopf, ⁷/₁₂ t, den Fuß ²/₁₂ t, bei letzteren den Kopf ¹/₁₂ t, den Fuß ⁸/₁₂ t lang; u. erhält daher stets ¹/₁₂ t Spielraum zwischen Kopf des einen u. Radboden des anderen Rades. Bei der Cycloidenverzahnung betrachtet man die Theilkreise stets als Basis der Cycloiden; bei der Construction von Einzelnrädern nimmt man den Halbmesser des durch sein Fortwälzen die Cycloiden erzeugenden Kreises halb so groß als den des einen Rades, damit die Flanke dieses Rades eben werde, denn die Hypocycloide ist in diesem Falle eine gerade Linie; bei der Construction von Satzrädern nimmt man zwei sich von außen berührende gleich große Wälzungskreise an u. jeder Zahnriß ist dann aus einem Epicycloiden- u. aus einem Hypocycloidenbogen zusammengesetzt. Bei der Evolventenverzahnung construirt man am besten immer Satzräder, indem man dem Halbmesser des Grundkreises, auf welchem sich die tangirende Gerade abwälzt, immer das nämliche Verhältniß zum Radhalbmesser (etwa 29: 30) gibt. Um die Zahnreibung kleiner zu machen, läßt man die Zähne bisweilen nicht als Ganzes über die ganze Radbreite gehen, sondern construirt Stufenräder (Hooksche Räder), bei denen die Zähne aus einzelnen über die Breite des Rades vertheilten u. gegen einander versetzten, Absätze od. Stufen bildenden Stücken[507] bestehen. b) Bei den Kamm- od. Kronrädern stehen die Zähne auf der ebenen Seitenfläche des Rades hervor; die Achsen dieser Räder können ebenfalls parallel sein, u. dann gibt man dem Kammrade cylindrische Triebstöcke, während das andere Rad wie ein Stirnrad verzahnt wird, nur daß man als Zahnriß eine um den Triebstockhalbmesser abstehende Parallele od. Äquidistante zu der von einem Triebstockmittel auf dem zweiten Rade beschriebenen Epicycloide benutzt; od. die Achsen schneiden sich, u. auch dann gibt man dem einen Rade gern cylindrische Triebstöcke. c) Konische Z., Kegel- od. Winkelräder. Wenn die Achsen zweier Z. sich in einem Punkte schneiden u. man zieht in der durch die Achsen gelegten Ebene eine Gerade durch den Schnittpunkt, so stehen die beiden Entfernungen eines jeden Punktes dieser Geraden von den Achsen in demselben Verhältnisse zu einander; denkt man sich daher um die Achsen zwei Kreiskegel construirt, welche sich in jener Geraden berühren, so werden an allen Stellen die sich berührenden Punkte dieser Kegel bei der Drehung gleiche Umfangsgeschwindigkeiten, die Kegel selbst aber ein unveränderliches Übersetzungsverhältniß (s. oben I. B) haben. Man kann daher diese Kegel (Grundkegel) für Z. mit richtigem Eingriff wählen u. nennt diese konische. Als Theilkreise benutzt man bei ihnen die beiden größten unter den Kreisen, in denen sich die Grundkegel berühren, u. die Halbmesser r u. R dieser Kreise kann man als Radhalbmesser betrachten. Die Grundkegel schneiden sich in demselben Punkte wie die Achsen; ihre Seiten sind gleich u. die Summe der beiden Winkel, welche die beiden Achsen mit ihren Seiten einschließen, muß dem Winkel gleich sein, unter welchem sich die Achsen schneiden; daher gibt es auch bei den konischen Z-n keine Satzräder, weil bei diesen mit dem aus r u. R sich ergebenden Übersetzungsverhältnisse auch der Achsenwinkel gegeben wäre, während letzter doch meist ohne Rücksicht auf das Übersetzungsverhältniß, durch die Lage der Achsen schon vorgeschrieben ist. Denkt man sich dann einen Grundkegel auf dem festliegenden zweiten fortgewälzt, wobei die Kegelspitzen auf einander liegen bleiben, so bewegt sich jeder Punkt desselben auf einer Kugelfläche u. beschreibt eine sphärische Epicycloide, welche daher bei der Verzahnung der Kegelräder als Zahnriß zu benutzen wäre. Bequemer lassen sich aber die Zahnriffe zeichnen, wenn man die Verzahnung auf die Verzahnung der cylindrischen Räder zurückführt. Die Berührung der Zähne findet nämlich nur in der Nähe der Geraden statt, in welcher sich die Grundkegel berühren; errichtet man also im Berührungspunkte der Theilkreise auf dieser Geraden zwei Perpendikel bis zu den Achsen u. betrachtet diese als Seiten zweier Kegel (Ergänzungskegel), deren Spitzen in den Achsen liegen, u. errichtet man im Berührungspunkte der Theilkreise eine Normalebene auf derselben Geraden, so berühren sich die Ebene, die Ergänzungskegelmäntel u. die Kugelfläche, u. die Punkte der Ebene bewegen sich in der Nähe der Berührungsstelle fast so wie die der Kugelfläche. Man construirt daher die Zahnriffe für die konischen Räder, so wie für Stirnräder mit Halbmessern, welche den Seiten der Ergänzungskegel gleichen, legt die für diese Stirnräder (Hülfsräder) gefundenen Zahnriffe auf die Ergänzungskegel u. zieht von allen ihren Punkten Gerade nach dem Schnittpunkte der Grundkegel. Man erhält so pyramidale Zähne, deren Seitenkanten nach dem Achsenschnittpunkte hinlaufen; die hintere Fläche ist ein Stück der Ergänzungskegelfläche, die vordere der hinteren parallel; die Kopf- u. Radbodenfläche laufen als Kegelflächen nach dem Achsenschnittpunkte. d) Hyperboloidenräder u. Schraubenräder. Wenn die Achsen zweier Wellen sich kreuzen, so kann man die Bewegung mittelst zweier Paare konischer Räder von der einen auf die andere übertragen u. darf zu diesem Behufe nur die beiden Achsen durch eine als dritte Achse zu nehmende Gerade schneiden. Man kann aber auch die Übertragung durch zwei Z. bewirken; denkt man sich diese als Reibungsräder, welche sich in einer Geraden berühren, so kann das erste ein cylindrisches od. konisches sein, das andere dagegen ist von einer Umdrehungsfläche zu begrenzen, welche entsteht, wenn sich jene mit der ersten Achse in einer Ebene liegende Berührungsgerade um die zweite Achse dreht; da diese Umdrehungsfläche ein dem einfachen od. elliptischen Hyperboloid entsprechendes Rotationshyperboloid ist, welches entsteht, indem sich eine Hyperbel um ihre Nebenachse dreht, so nennt man das zweite Rad ein Hyperboloidenrad. Auch das erstere, cylindrische od. konische Rad kann man durch ein hyperboloidisches ersetzen, also ein Hyperboloidenräderpaar anwenden. Die Hyperboloidenräder haben an den Berührungsstellen nicht gleiche Umfangsgeschwindigkeiten. Die Hyperboloidenräder werden ganz ähnlich verzahnt, wie die konischen Z., indem man die Stirnflächen der Zähne in Kegelflächen liegend annimmt. Bei zwei sich kreuzenden Achsen kann man zur Bewegungsübertragung auch ein Paar Schraubenräder anwenden; diese sind als ein Paar Schraubenspindeln zu betrachten, deren Gänge in einander greifen; sie haben das Aussehen wie Stirnräder, allein ihre Zähne laufen schräg (in Schraubenlinien) über den Umfang des Radkranzes, stehen also nicht der Achse parallel. Die Schraube ohne Ende (s.d.) läßt sich auch als ein Schraubenräderwerk ansehen, bei welchem sich die Achsen unter einem rechten Winkel schneiden. Auch die Schraubenräder eines Paares haben nicht gleiche Umfangsgeschwindigkeit.

II. Zahnräder zur Abänderung der Bewegungsart. a) Das elliptische Räderwerk besteht aus zwei gleichen Stirnrädern mit elliptischer Grundform; die Entfernung der Achsen ist der großen Achse der Ellipse gleich, weshalb sich die Ellipsen stets in einer gemeinschaftlichen Tangente berühren; dreht sich das eine Ellipsenrad gleichförmig, so nimmt die Winkelgeschwindigkeit des anderen periodisch zu u. ab. b) Die Spiralräder (s.d.); zu ihnen gehören auch die dreieckigen, quadratischen, polygonalen Z. Viereckige Z. sind z.B. bei den Buchdruckerpressen von Bacon u. Donkin angewendet worden; während jeder Umdrehung kommen bei ihnen vier Maximal- u. vier Minimalgeschwindigkeiten vor. Bei den konischen Spiralrädern von Römer stehen die Kämme in Spirallinien neben einander; die Achsen sind parallel. c) Das excentrische Kreisrad ist ein cylindrisches Rad, welches excentrisch auf seiner Achse steckt, dessen Kämme daher nicht radial, sondern nach dem Mittelpunkt der Wellenachse gerichtet sind; es greift in ein langes Getriebe, dessen Achse senkrecht zur Achse des excentrischen steht. Auch bei parallelen Achsen läßt sich ein excentrisches Kreisrad[508] anwenden, u. eine ähnliche periodische Geschwindigkeits zu- u. Abnahme kann man auch durch zwei excentrisch gestellte Krummzapfen erreichen. d) Die Epicykelvorgelege dienen bes. um einer Welle eine kleine Umdrehungsgeschwindigkeit zu geben; sie bestehen im Wesentlichen aus drei Rädern, von denen sich das eine zwischen den beiden anderen wälzt. Beim einfachsten Epicykelvorgelege drehen sich zwei konische Räder mit verschiedener Geschwindigkeit um eine gemeinschaftliche Achse A u. geben einem zwischen ihnen liegenden dritten konischen Rade, in welches sie beide eingreifen, eine Umdrehung um seine eigene Achse u. zugleich eine Bewegung um die gemeinschaftliche Achse A. Verbindet man das dritte Rad mit einem um A drehbaren Radkranz, so erhält man ein Differentialgetriebe. Auch drei Stirnräder mit parallelen Achsen kann man statt der konischen verwenden, eius derselben muß aber innen verzahnt sein. Zu den Epicykelvorgelegen gehört auch das Laufgetriebe od. das Sonnen- u. Planetenrad von Watt, wobei die Achse des dritten Rades von einem Krummzapfen aus in Umdrehung versetzt wird. e) Zur Umsetzung einer stetigen Kreisbewegung in eine geradlinige od. kreisförmige, aber absetzende Bewegung verwendet man verschiedene Vorrichtungen, z.B. das Mangelrad od. Wenderad, zwei in ein drittes eingreifende, auf einer gemeinschaftlichen Achse sitzende Kegelräder, deren jedes nur auf den halben Umfange verzahnt ist etc. Auch die Sperr- u. Schiebzeuge sind hierher zu rechnen. Die richtige Construction der Z. zeigte zuerst der dänische Astronom Römer, nach ihm Lahire, Camus, Depacieux, Euler, Kästner; vgl. Olivier, Geometrische Theorie der Zahnräderwerke (deutsch von Schnuse).