Stereometrie

Stereometrie (v. gr.), die Lehre von der Messung der Körper, handelt streng genommen von den Punkten, Linien u. Flächen, insofern diese nicht sämmtlich in einer u. derselben Ebeneliegen. Grundlehren der reinen S.: Die Lage einer Ebene ist bestimmt a) durch drei Punkte, welche nicht in einer Geraden liegen; b) durch eine Gerade u. einen Punkt außer derselben; c) durch zwei Gerade, welche entweder einander schneiden od. parallel sind. Durch zwei Punkte od. durch eine Gerade lassen sich dagegen unzählig viel Ebenen legen, u. wiederum liegen mehr als drei Punkte nicht nothwendig in einer Ebene (ein dreifüßiger Tisch steht immer fest, nicht so der vierfüßige). Zwei Gerade im Raume können außerdem, daß sie einander schneiden od. parallel sind, eine solche Lage haben, daß keins von beiden Statt findet; solche heißen sich kreuzende. Die kürzeste Linie, welche sich zwischen zwei sich kreuzenden ziehen läßt, d.h. ihr Abstand, steht auf beiden Geraden senkrecht. Daher ist der Abstand von Geraden, welche einander schneiden, immer Null. Eine Gerade kann entweder ganz in eine Ebene fallen, od. ihr nie begegnen, d.h. ihr parallel sein, od. blos einen Punkt mit ihr gemeinschaftlich haben, d.h. sie durchstechen. Steht sie im letzten Falle auf zwei Geraden senkrecht, welche aus dem Durchstichspunkte beliebig in der Ebene gezogen sind, so läßt sich beweisen, daß sie auch auf jeder anderen in der Ebene durch den Durchstichspunkt gezogenen Geraden senkrecht steht, u. man sagt daher, daß sie auf der Ebene senkrecht stehe; bildet sie mit irgend einer in der Ebene gezogenen Geraden einen spitzen od. stumpfen Winkel, so steht sie schief auf der Ebene. Fällt man, wenn das Letztere stattfindet, aus irgend einem Punkte der Geraden ein Loth auf die Ebene u. verbindet seinen Fußpunkt mit dem Durchstichspunkte, so ist der Winkel, welchen die ursprüngliche Gerade mit dieser Verbindungslinie einschließt, kleiner als[783] der Winkel, welchen die gegebene Gerade mit jeder andern in der Ebene durch den Durchstichspunkt gezogenen Geraden bildet, u. heißt daher ihr Neigungswinkel gegen die Ebene. Parallele Gerade haben gegen ein u. dieselbe Ebene gleiche Neigungswinkel. Zwei Ebenen begegnen einander entweder nie, d.h. sie sind parallel, od. sie begegnen, d.h. sie durchschneiden einander. Der Durchschnitt ist eine gerade Linie. Das System zweier in ihrer Durchschnittslinie einseitig begrenzter Ebenen heißt ein Keil- od. Flächenwinkel od. diedrischer Winkel u. ihre Durchschnittslinie die Kante, die beiden Flächen die Seiten des Keils. Wenn man auf der Kante in jeder der beiden Ebenen aus einem Punkte eine Senkrechte errichtet, so heißt der von denselben eingeschlossene Winkel der Neigungswinkel der Ebene; von welchem Punkte der Kante aus diese Construction auch wiederholt werden mag, alle so erhaltenen Winkel sind einander gleich. Man kann also auch sagen, das Maß des Flächenwinkels ist der Winkel, welchen die beiden Geraden einschließen, in denen eine auf der Kante senkrechte Ebene beide Ebenen schneidet. Ebenen, deren Neigungswinkel ein rechter ist, stehen senkrecht auf einander. Wenn sich mehr als zwei Ebenen, welche bis zu ihren Durchschnittslinien erweitert sind, in Kanten schneiden, die in einem Punkte zusammenlaufen, so heißt der von diesen Ebenen einerseits begrenzte Raum ein körperlicher Winkel od. eine Ecke. Der gemeinschaftliche Durchschnittspunkt der Kanten, welcher also allen Ebenen gemein ist, heißt der Scheitel od. die Spitze, die sich schneidenden Ebenen die Seiten, ihre Durchschnittslinien die Kanten, die an denselben liegenden Flächenwinkel die Winkel der Ecke. Es werden also ebensowohl die Seiten als die Winkel der Ecke durch Winkelmaß ausgedrückt: die Seiten durch den Winkel, welchen die beiden eine Ebene begrenzenden Kanten einschließen, die Winkel durch den an jeder Kante liegenden Flächenwinkel. Nach der Zahl der Kanten, od. was dasselbe ist, der Seiten einer Ecke, wird sie eine drei-, vier-, fünf- etc. kantige od. seitige genannt. Beschreibt man in der Vorstellung aus dem Scheitel einer Ecke als Mittelpunkt eine Kugelfläche von beliebigem Halbmesser, so schneiden die Seiten der Ecke diese Fläche in lauter Bogen größter Kreise u. begrenzen auf der Kugelfläche ein sphärisches Vieleck. Die Seiten dieses Vielecks sind die Maße der zugehörigen Seiten der Ecke, die Winkel des Vielecks sind die Maße der Keile u. die Oberfläche des Vielecks ist das Maß der Ecke selbst. Daher lassen sich die Untersuchungen über die Ecken auf die der sphärischen Vielecke reduciren, was in mehrfacher Rücksicht große Erleichterung gewährt (vgl. Sphärische Trigonometrie u. Sphärik). Stehen die Kanten einer dreikantigen Ecke auf einander senkrecht, so wird die Ecke eine rechte genannt. Diese ist das Grundmaß aller andern Ecken. Eine Ecke, welche kleiner ist als das Vierfache einer rechten Ecke, heißt eine concave od. ausspringende; diejenige, welche größer ist als dieses Vierfache, heißt dagegen eine convexe od. einspringende (bei Festungswerken sind einspringende Ecken häufig, vgl. auch Sternfiguren). Ecken, worin Keile vorkommen, deren Neigungswinkel größer ist, als zwei reckte sind, heißen Ecken mit einspringenden Keilen. Die S. betrachtet in der Regel von den Polyedern nur die mit ausspringenden Ecken. Das einfachste derselben ist das Tetraeder (s.d.). Wie jedoch in der Planimetrie in mehrfacher Beziehung das Parallelogramm dem Dreieck vorausgeht, so in der S. dem Tetraeder das Parallelepipedon (s.d.), welches von sechs Ebenen begrenzt ist, von denen immer zwei parallel sind. Daran schließt sich das Prisma (s.d.), in welchem beliebig viele in parallelen Kanten sich schneidende Ebenen durch zwei parallele Grundflächen begrenzt werden. Zuletzt folgt die Pyramide (s.d.), von welcher das Tetraeder ein besonderer Fall ist, wie das Parallelepipedon von dem Prisma. Unter den krummflächigen Körpern werden hier behandelt der Kegel, der Cylinder, die Kugel, die Sphäroiden u. Konoiden. Außerdem sind hier noch die Körper zu erwähnen, welche durch Umdrehung einer ebenen Figur, wie eines Dreiecks od. Kreises, einer Ellipse, od. überhaupt eines Segments von einem Kegelschnitte um eine beliebige, in dieser Ebene gezogenen Gerade als Achse entstehen u. ringförmige Körper genannt werden; eben so die hufförmigen Abschnitte der Cylinder u. Konoiden, welche von einem Stücke der Grundfläche u. der gekrümmten Fläche dieser Körper u. außerdem von einer Ebene begrenzt werden, welche durch diese Körper gelegt wird; die Sphäroide u. alle folgenden Körper finden in der Behandlung ihre Stelle besser in der analytischen Geometrie. Zwei Ecken, zwei gekrümmte Flächen od. zwei Körper können in Rücksicht ihrer Gestalt u. Größe zunächst in fünferlei Beziehung betrachtet werden. Sie sind entweder ähnlich gleich (congruent), od. symmetrisch gleich, od. ähnlich, od. symmetrisch, od. blos gleich (vgl. Symmetrie, Verwandtschaft). Die Bestimmung des Inhalts od. Volumens der verschiedenen Körper ist unter den einzelnen Artikeln angegeben. Die Beziehungen in der S. sind bei Weitem mannichfaltiger als in der Planimetrie. Beim einfachsten Vieleck, z.B. dem Dreieck, kommen unmittelbar nur sechs Stück, die drei Seiten u. die Winkel, welche sie einschließen, in Betracht. Beim einfachsten Polyeder, dem Tetraeder, dagegen hat man vier Flächen, in jeder derselben drei ebne Winkel, ferner sechs Kanten, sechs Flächenwinkel, zwölf Neigungswinkel der Kanten gegen die Seitenflächen u. vier Ecken, zusammen 44 Stücke, also über siebenmal soviel als beim Dreieck. Man wendet nun bei stereometrischen Untersuchungen entweder die construirende Methode an, wobei die Schwierigkeit eintritt, daß die Verzeichnungen alle in einer Ebene zu machen sind, also bei Betrachtung einer stereometrischen Figur nicht blos der Verstand, sondern auch die Phantasie thätig sein muß, od. man bedient sich, sobald es sich nicht um das Volumen der Körper handelt, der Projectionen (s.d.), wodurch die Construction auf eine Fläche (nicht allemal auf eine Ebene) zurückgeführt wird. Dadurch haben viele schwierige u. bes. in das Praktische einschlagende Gegenstände eben so sehr an Einfachheit, als an Allgemeinheit gewonnen, u. diese Betrachtungsweise ist dem Praktiker unentbehrlich. Endlich wird u. zwar am umfassendsten, die Methode der Coordinaten auf die S. angewendet, die nach den Verbesserungen, welche dieselbe in der neuesten Zeit erfahren, von ihrer frühern Weitläufigkeit viel verloren hat. Als ein Theil der S. ist die sphärische u. sphäroidische Trigonometrie (s.d.) anzusehen, welche die S. eben so ergänzt, wie die ebene Trigonometrie die Planimetrie. Das Studium der S. wird sehr durch Modelle erleichtert, welche sich in massive u. durchsichtige theilen lassen. Jene sind meistentheils aus Holz od. Pappe. Manche Körper, wie[784] der schiefe Cylinder u. Kegel sind auf diese Weise schwer herzustellen. Zur Anfertigung der Körper aus Pappe muß diese vorher die gehörige Form erhalten u. an den Stellen, wo sie dann umgebogen werden soll, um einen Keil zu bilden, bis auf die Hälfte ihrer Dicke eingeschnitten werden (vgl. Netz 4). Sonst kann man sich viele Formen leicht ausweichen Massen, wie aus Kork auf die Dauer od. aus Kartoffeln u. dgl. für den momentanen Gebrauch, ausschneiden. Weit brauchbarer sind die durchsichtigen Modelle; um Polyeder zu construiren, biegt man steife Drähte, welche die Kanten der Körper vorstellen, an ihren Enden um, um sie, wo es nöthig ist, mit Fäden zusammenzubinden; od. man schneidet dünne Stäbchen, am besten aus Kiefernholz, u. durchsticht sie an ihren Enden mit einer starken Nadel, um sie dann mit einem Faden zusammenzubinden; od. man spitzt diese Stäbchen zu u. steckt sie mit ihren Enden in so viel Wachskugeln, als der Körper Ecken hat, od. in eingequellte Erbsen, welche, wenn sie wieder zusammengetrocknet sind, dem Modelle große Festigkeit geben. Bedient man sich der Fäden zur Befestigung, so ist oft noch eine Diagonale nöthig, damit der Körper eine bestimmte Gestalt erhält. Kegel- od. Cylinderflächen etc. construirt man am besten durch ausgespannte Fäden, welche die erzeugenden Linien in ihren verschiedenen Lagen darstellen. Es wird im Mittelpunkte eines aus Pappe geschnittenen Kreises ein Stäbchen schief od. senkrecht, etwa durch Siegellack, befestigt u. über sein anderes abgestumpftes Ende u. die Pappenscheibe ein Faden gewunden. In ähnlicher Weise erhält man eben so leicht die Cylinderfläche. Für die Kugel kann man sich auch der in Kreise von gleichem Halbmesser zusammengebogenen Drähte bedienen, od. man läßt sich, für bloße Constructionen auf ihrer Oberfläche, zu einer hölzernen Kugel einen massiven hölzernen Cylinder so ausdrehen, daß die Halbkugel gerade in die Höhlung paßt, od. daß so viel fehlt, als die Breite des Stifts beträgt, mit welchem man auf der Kugelfläche zeichnen will. Dann lassen sich leicht in jeder Lage Bogen größter Kreise auf der letztern construiren. Die Anwendung der S. ist eben so mannigfaltig als wichtig, z.B. bei der Krystallographie, Markscheidekunst, Baukunst etc. Was man unter praktischer S. im engern Sinne begreift, s.u. Visirkunst. Vgl. Euklides Elemente, die 5 letzten Bücher, u. des Archimedes 2 Bücher von der Kugel u. dem Cylinder; Legendre, Elemente der Geometrie, übersetzt von Crelle, Berl. 1822; Ide, Elemente der reinen Mathematik, ebd. 1803, 2 Thle.; Nizze, Lehrbuch der S., Königsberg; Ohm, Körperliche Raumgrößenlehre etc., Berl. 1826; Grunert, Lehrbuch der S., Brandenb. 1832; Van Swinden, Geometrie, deutsch von F. A. Jacobi, Jena 1834; E. F. Kauffmann, Lehrbuch der S., Stuttg. 1836; Nagel, Lehrbuch der S. u. ebenen Trigonometrie, Ulm 1838; Poncelet, Traité des propriétés projectives, Paris; Steiner, Über die Abhängigkeit geometrischer Gestalten, Berl. 1832; Lehmus, Aufgaben aus der Körperlehre, Berl. 1811; Lubbes, Lehrbegriff der höhern Körperlehre, Berl. 1828; Essen, Lehrbuch der S., Stargard 1856.