Mathematik

Mathematik (v. gr.), 1) überhaupt die Wissenschaft, namentlich diejenige, welche es mit der Form der Erkenntnisse zu thun hat, insbesondere 2) die Wissenschaft, welche sich mit den Größen (s.d.) u. deren Form u. gegenseitiger Beziehung beschäftigt. Die hier in Rede kommenden Größen sind die der Quantität, d.h. derer, welche gezählt u. gemessen werden können. Man unterscheidet gewöhnlich: A) Reine M., dazu gehört a) die Arithmetik (s.d.), welche sich mit den zählbaren, u. b) die Geometrie, welche sich mit meßbaren Größen beschäftigt; B) Angewandte M., dazu gehören andere Wissenschaften, welche von den Grundsätzen der Reinen M. zunächst ihre Bestimmtheit u. Sicherheit erlangen, z.B. Astronomie, Mathematische Physik, Mechanik, Optik, Feldmeßkunst etc. Für das Studium u. den Vortrag der M. ist die Mathematische Lehrmethode als Grundbedingung aufgestellt, die wesentlichen Erfordernisse derselben sind: Bestimmtheit, Strenge u. genaue Stufenfolge, so daß alles Nachfolgende völlig aus Vorherigem erwiesen wird. Sie geht (synthetisch) von ganz einfachen, keines Beweises bedürfenden Grundsätzen aus u. leitet daraus Lehrsätze ab, welche, wie sie aufgestellt werden, nicht sogleich einleuchten u. also bewiesen werden müssen. Diese mathematischen Beweise sind die Hauptsache, u. daher beruht die mathematische Methode durchaus auf Demonstration. Man kann die Wahrheit aber auch unmittelbar auf heuristischem Wege (analytisch) gewinnen, wo dann die Anwendung der demonstrativen Methode nur die Probe ist, an welcher die intuitiv erfaßte Wahrheit sich bewähren muß. Die M. erhielt, nachdem viele Erfahrungssätze, Aufgaben u. Methoden im Orient u. in Ägypten aufgestellt worden waren, ihre erste wissenschaftliche Gestalt durch die griechischen Philosophen. Pythagoras stellte zuerst den innigen Zusammenhang der Zahlen u. räumlichen Größen zu einander dar u. erfand den nach ihm genannten Lehrsatz; Archytas (um 400) bildete die Arithmetik weiter aus; Begründer der Geometrie als Wissenschaft wurde Euklides; in der Periode der Alexandrinischen Schule sind besonders als Mathematiker berühmt: Archimedes, welcher außer mehrern Erfindungen in der Mechanik, das Verhältniß der Peripherie zum Durchmesser der Kugel u. des Cylinders entdeckte; Dinostratos, welcher sich schon mit der Auffindung der Quadratur des Kreises beschäftigte; Apollonios von Perga, welcher die Lehren von den Kegelschnitten vollendete u. die Theorie von der Ellipse u. Hyperbel aufstellte; Diokles, welcher das Problem von Verdoppelung des Würfels, Nikomedes, welcher die geometrische krumme Linie erfand. Auch verdienen aus jenem Zeitalter (zum Theil zugleich auch wegen Anwendung der M. auf Astronomie) Aristäos, Eratosthenes, Konon, Posidonios, Theodosios Bemerkung; aus der Zeit n.Chr. G. aber Nikomachos, Ptolemäos, Anatolios, Serenos, Epiphanios, Diophantos, Pappos, Theon u. dessen Tochter Hypatia, Proklos, Isidoros, Eutokios etc. Unter den Römern hat kein Schriftsteller als Mathematiker, außer etwa Vitruvius wegen Anwendung der M. auf Baukunst u. die Agrimensoren wegen Anwendung derselben auf Ländertheilung u. Lagerabsteckung sich Verdienste erworben, u. Cäsar mußte zu seiner Kalenderreform sich eines alexandrinischen Astronomen, des Sosigenes, bedienen. Dagegen wurde von den Arabern M. mit besonderer Vorliebe aufgenommen u. besonders vom 10. bis zum 12. Jahrh. behandelt. Sie übersetzten nicht nur die Werke der griechischen Mathematiker, sondern lieferten auch eigene mathematische Werke u. sind Erfinder der Algebra u. der Trigonometrie. Durch die Araber gelangte die M., mit der Astronomie, nach Spanien, wo im 13. Jahrh. die berühmten Alfonsischen Tafeln entstanden. In England erhielt die M. in derselben Zeit durch Roger Bacon ihre erste Begründung. Doch fand sie ihr eigentliches Emporkommen in neuerer Zeit erst im 15. Jahrh. durch Johann von Gmünden, Peurbach, Regiomontanus u. And. Im 16. Jahrh. fing man an, die griechischen Mathematiker herauszugeben, zu übersetzen u. zu erläutern, u. es traten Cardanus, Maurolykus, Vieta, Ludolph von Ceulen, Peter Nuñez, Justus Byrge, Peter Apianus u.a. als denkende Mathematiker neben den Astronomen Copernicus, Tycho de Brahe, Keppler auf. Unter den mathematischen Erfindungen des 17. Jahrh. sind bes. die Logarithmen-, die Differential- u. Integralrechnung zu erwähnen, u. die Namen Galilei, Toricelli, Pascal, Descartes, L'Hopital, Cassini, Huygens, Neper, Harriot, Wallis, Barrow, Newton, Halley, Leibniz, Jakob u. Johann Bernoulli, Hevel, Römer sind berühmt. War im 18. Jahrh. die Anzahl ausgezeichneter Mathematiker auch vielleicht geringer, so wurde dagegen das Studium allgemeiner u. seine Nothwendigkeit für ein gründliches Wissen in der Naturkunde u. der Technik immer mehr anerkannt. In der frühern Hälfte desselben suchte man bes. den neu erfundenen Differentialcalcul weiter auszudehnen u. anzuwenden, in der letztern, ihn noch mehr zu begründen; zugleich wurden neue Rechnungsarten, die combinatorische Analysis, die Variations- u. Derivationsrechnung erfunden; der Hülfsmittel des Studiums (Logarithmische Tafeln) wurden mehre u. die Methoden ihrer Berechnung besser. Als vorzüglichste Mathematiker dieses Jahrh. sind zu bemerken: Manfredi, Ricati, Nic. u. Dan. Bernoulli, Euler, Maclaurin, Taylor, Bradley, Moavre, de la Caille, Clairaut, Bouquer, d'Alembert, Lalande, Chr. von Wolf, Lambert, T. Mayer, Kästner, Hindenburg, Ohm u.a., denen aus neuester Zeit noch Lagrange, Laplace, Legendre, Klügel, Mollweide, Langsdorf, Gauß, Abel, Jakobi, Grunert, Dirichlet u.a. beigefügt werden können. Vgl. Montucla, Histoire des math., Par. 1758, 2 Bde., u. Anfl. von Lalande, 1794, 4 Bde.; Bossut, Essay de l'hist. générale des math., ebd. 1802, 2 Bde. (deutsch[4] von Reimer, Hamb. 1804); Kästner, Geschichte der M. seit der Wiederherstellung der Wissenschaften, Gött. 1796–1800, 4 Bde.; Poppe. Geschichte der M., Tüb. 1828; J. J. Hoffmann, Über die M. der Griechen, Mainz 1817; F. Drieberg, Die Arithmetik der Griechen, Lpz. 1819–21, 2 Bde.; Chasles, Aperçu historique sur l'origine et le développement des méthodes en géometrie, Brüss. 1837 (deutsch von Sohnke, Halle 1839); Lehrschriften: Wolf, Anfangsgründe der mathematischen Wissenschaften, 11. Aufl., Lpz. 1800, 4 Thle.; W. J. G. Karsten, Lehrbegriff der gesammten M., Rost. 1782–91, 8 Thle.; A. G. Kästner, Anfangsgründe der M., Gött. 1758–69, 4 Thle. in 10 Abthl., 6. Aufl. 1800; Lacroix, Cours des mathématiques, Par. 1818–19, 9 Bde.; Ohm, Versuch eines vollkommen consequenten Systems der M., Berl. 1829 ff., 7 Thle., 3. A. Nürnb. 1853 ff.; Derselbe, Lehrbuch für den gesammten mathematischen Elementarunterricht, Lpz. 1838, 5. Aufl., ebd. 1856; Grunert, Lehrbuch der M., Brandenb. 1834, 4 Bde., 4. Aufl. 1854; J. J. von Littrow, Anleitung zur gesammten M., Wien 1838; J. H. T. Müller, Lehrbuch der M., Halle 1838 ff.; Grunert, Lehrbuch der M. u. Physik, Lpz. 1841 ff., 6 Bde.; G. S. Klügel, Mathematisches Wörterbuch, fortgesetzt von Mollweide, Lpz. 1803–23; Supplemente dazu von J. A. Grunert; A. L. Crelle, Journal der reinen u. angewandten M., Berl. 1826–43, 25 Bde.; Rosenthal, Encyklopädie aller mathematischen Wissenschaften, ihrer Geschichte u. Literatur, Gotha 1794–1803; Büsch, Encyklopädie der mathematischen Wissenschaften, Hamb. 1795; Murhard, Literatur der mathematischen Wissenschenschaften, Lpz. 1797–1805; Archiv der M. u. Physik herausg. von Grunert, Greifswald 1841 ff.